Definição de função
Função
O estudo do produto cartesiano serviu de base para
aprendermos sobre as relações. Estas agora são o alicerce para o estudo das
funções
As funções nada mais são que um tipo
particular de relação que possuem uma propriedade específica.
Para iniciarmos o estudo das funções vamos começar
analisando a relação , cujo diagrama de flechas pode ser visto ao lado:
Observe que todos os elementos do conjunto A possuem uma
flecha em direção a um único elemento do conjunto B.
Em outras palavras, não há no conjunto A qualquer elemento
que não esteja associado a um elemento do conjunto B e os elementos de A estão
associados a apenas um elemento de B.
Por possuir tal propriedade, dizemos que
esta relação é uma função f de A em B representada por:
Domínio
da Função
Ao
conjunto A damos
o nome de domínio da função.
O domínio é
o conjunto de partida. Ele composto de todos os elementos do conjunto de
partida.
Neste
nosso exemplo o domínio da função f é representado por D(f) = { -3, 0, 3 }, ou seja, o domínio desta função contém todos os
elementos do conjunto A.
Como
supracitado, para que tenhamos uma função, todos os elementos do domínio devem
estar associados a um e somente um dos elementos de B.
Contradomínio da Função
Ao
conjunto B damos
o nome de contradomínio da função.
O contradomínio é
o conjunto de chegada. Ele composto de todos os elementos do conjunto de
chegada.
Em
nosso exemplo o contradomínio da função f é representado por CD(f) = { 0, 9, 18 }, isto é, o contradomínio desta função contém todos
os elementos do conjunto B.
Segundo
o conceito de função não é necessário que todos os elementos de B estejam
relacionados aos elementos do domínio. Note que no conjunto B o
elemento 18 não
recebe nenhuma flecha, isto é, não está relacionado a qualquer elemento de A.
Uma
outra coisa que deve ser observada é que em uma função os elementos do contradomínio podem
receber mais de uma flechada, se associando, portanto, a mais de um elemento do
domínio. Como exemplo temos o elemento 9 que está associado aos elementos do domínio -3 e 3.
Imagem da Função
A
imagem da função dependendo do caso é o próprio contradomínio,
ou então é um subconjunto seu.
Os
elementos do conjunto imagem são todos os elementos do contradomínio que
estão associados a algum elemento do domínio. No exemplo que estamos utilizando o conjunto imagem é
representado porIm(f) = { 0, 9 }, pois 0 e 9 são todos os elementos do CD(f) que
estão associados a algum elemento do D(f).
Em
resumo para a função de exemplo temos:
Domínio
da Função: D(f) = { -3, 0, 3 }
Contradomínio
da Função: CD(f) = { 0, 9, 18 }
Conjunto
Imagem da Função: Im(f) = { 0, 9 }
Nesta
função exemplo o conjunto imagem é um subconjunto do contradomínio, pois o elemento 18 de B não
está contido no conjunto imagem, por não estar associado a nenhum elemento do
domínio.
Definição de uma Função
Esta função f de A em B, é definida como:
Ou ainda como:
Veja também que representamos f(x) ou y em
função de x. A variável f(x) ou y é
chamada de variável dependente, pois depende de x, já a
variável x é chamada de variável independente,
pois independentemente dey, pode representar qualquer elemento do domínio.
A definição da função leva em conta tanto o domínio quanto
do contradomínio, relacionando-os. O conjunto imagem Im(f),
depende não só da regra de associação, no caso f(x) = x2,
como também do D(f) e do CD(f).
Parte superior do
formulário
Exemplos de Relação que não é Função
Observe o diagrama de flechas ao lado:
Ele não representa uma função de A em B,
pois o elemento 2 do conjuntoA possui duas
imagens, -8 e 8, o que contraria o conceito de função.
Se apenas 8 ou -8 recebessem
um flechada de 2, aí sim teríamos uma função.
Agora vejamos este outro diagrama de flechas a seguir:
Veja que não há nenhum elemento do domínio que fleche mais
de um elemento do contradomínio, mas ainda assim não estamos diante
de umafunção. Por quê?
Simplesmente porque o elemento 5 do
conjunto A não possui uma imagem em B.
Observe agora o seguinte gráfico no plano cartesiano:
Ele representa ou não uma função?
Como sabemos, em uma função cada elemento x dodomínio deve
estar relacionado a um único elemento ydo contradomínio,
ou seja, deve possuir uma únicaimagem.
Note porém que neste gráfico os pontos (5, 1) e(5, 4),
possuem a mesma abscissa, o que significa dizer que o elemento 5 do domínio possui
duasimagens, ele flecha tanto o elemento 1, quanto o
elemento 4 do contradomínio, portanto tal gráfico
não representa uma função.
Em resumo, levando-se em conta o domínio e
o contradomínio da relação, se no gráfico for possível traçar
uma reta paralela ao eixo das ordenadas que passe por mais de
um ponto do gráfico, ou ainda que não passe por nenhum dos seus pontos, então
estaremos diante de um gráfico que não representa uma função.
Zeros ou Raízes de uma Função
Olhe o gráfico da função ao lado e perceba que alguns dos
seus pontos estão localizados sobre o
eixo das abscissas.
A abscissa de cada um destes pontos é denominada zero
da função ou raiz da função.
Todo elemento do domínio da função que tem como imagem o
elemento 0, é uma raiz da função.
Os elementos do domínio que anulam a função são as suas
raízes, isto significa dizer que dependendo da função, ela pode não possuir
raízes reais, pois pode não existir no seu domínio nenhum elemento que a anule
e sendo assim o seu gráfico nunca intercepta o eixo x, assim como
também pode possuir infinitas raízes reais, pois o seu gráfico intercepta o eixo
x infinitas vezes, já que podem existir infinitos elementos do seu
domínio que tornem a função nula.
Parte inferior do
formulário
Im = R
